UN PEU DE MECANIQUE CELESTE
Didier Fontaine
Texte corrigé par Paul De Henau
Ces pages n’ont pas pour objectif l’exhaustivité ni l’explication détaillée de la mécanique céleste, domaine ô combien étendu et largement vulgarisé. Je me propose plutôt d’y consigner quelques définitions et formules d’usage courant.
I Rappel des lois de Kepler
I a Rappels sur l’ellipse
Le grand axe 
=
2a
Le petit axe 
= 2b
F1 et F2 sont les deux foyers.
Pour tout point P de l’ellipse
on a 
= 2a
L’excentricité e est le
rapport entre la distance 
et
le grand axe 2a :
Pour l’ellipse on a 0 < e < 1
L’excentricité du cercle est nulle.
L’excentricité de la parabole = 1
L’excentricité de l’hyperbole est supérieure à 1
I b La deuxième loi de Kepler est illustrée de la manière suivante:
Si les temps nécessaires pour parcourir les arcs d’ellipse AB,CD, et EF sont égaux, alors les aires SAB, SCD, et SEF sont égales.
I c La troisième loi de Kepler est mise en équation de la manière suivante :
Si T1 et T2 sont les temps de révolution respectifs des planètes P1 et P2, et si a1 et a2 sont respectivement leurs demi grand axe, on a :
(T1)2/ (a1)3 = (T2)2 / (a2)3 = Constante
De manière plus précise, en tenant compte de la masse M du Soleil et des masses m1 et m2 des planètes, cette loi s’écrit :
(T1)2( M + m1) / (a1)3 = (T2)2(M + m2) / (a2)3
La troisième loi de Kepler peut être déduite de loi de gravitation de Newton
Fg = GMm / r2
et de la force centrifuge
Fc = mv2 / r = m w 2r = 4mp2r / T2
Fg = Fc fournit
GM / r2 = 4p2r / T2
et r3/ T2 = GM / 4p2
Le deuxième terme de cette dernière relation est bien une constante.
La vitesse orbitale v d’une planète située à la distance r du Soleil, doit être telle que la force centrifuge Fc soit équilibrée par la force de gravitation Fg.
Si la vitesse v diminue un peu, la planète prend une trajectoire de chute qui la rapproche du soleil. La force de gravitation augmente.
Mais la vitesse de la planète augmente alors conformément à la deuxième loi de Kepler. La force centrifuge augmente sous l’effet de cette augmentation de vitesse, jusqu’à ce que l’équilibre avec la force de gravitation soit rétabli.
Equilibre de la force centrifuge et de la force gravitationnelle centripète sur une orbite circulaire
II Régularités dans le système solaire.
Le système solaire présente des régularités intéressantes qui ont été signalées entre autres par J.D.Titus et J.E.Bode à la fin du XVIIIe siècle.
Loi de Titus-Bode
La distance Terre Soleil étant prise pour unité astronomique, la loi de Titus-Bode s’écrit comme suit :
r = 0.4 + 0.3 * 2n
Les valeurs de n pour les planètes sont :
Mercure 
Venus 0
Terre 1
Mars 2
Petites
Planètes 3
Jupiter 4
etc jusqu’à 8
Exemple pour Mars : r = 0.4 + 0.3*22 = 1.6
La distance réelle est r = 1.526
Une astuce mnémotechnique permet de trouver la distance en u.a. qui sépare chaque planète du Soleil :
on prend la suite > 0 3 6 12 24 48 96 192 384 768
on ajoute 4 > 4 7 10 16 28 52 100 196 388 772
on divise par 10 > .4 .7 1.0 1.6 2.8 5.2 10.0 19.6 38.8 77.2
III Formules diverses.
Si dans la relation T2 / T’2 = a3 / a’3 (troisième loi de Kepler) on prend respectivement T et a comme unités de durée et de distance planète-Soleil, on obtient l’expression simplifiée du temps de révolution des planètes :
T = 
a3
Calcul d’une circonférence. C = pD (D étant le diamètre)
Vitesse de libération d’une
planète Vl = (2GMs/rs)
où Ms est la masse du Soleil et rs la distance planète-Soleil
Distance entre Soleil et périhélie : q = a(1 — e)
Distance entre Soleil et aphélie : q’ = a(1 + e)
( on a q + q’ = 2a )